Contoh Soal Penerapan Sistem Persamaan Linear pada Penerapan Persimpangan Jalan

Di bagian kota yang ramai dari suatu kota tertentu, dua kelompok jalan satu-arah berpotongan seperti pada gambar dibawah ini. Rata-rata volume mobil per jam yang memasuki dan meninggalkan persimpangan diberikan pada gambar. Tentukan banyaknya lalu lintas antara pada setiap perempatan (x₁, x₂, x₃, x₄)

Jawaban:

Cara Manual:

Untuk menghitung nilai x pada persimpangan jalan, volume mobil per jam yang masuk ke suatu persimpangan sama dengan volume mobil per jam yang keluar dari suatu persimpangan tersebut. Maka setiap persimpangan memiliki perumusan sebagai berikut:

Volume Mobil per Jam yang Masuk = Volume Mobil per Jam yang Keluar

Persimpangan A:

x₁ + 450 = 610 + x₂

x₁ – x₂ = 610 – 450

x₁ – x₂ = 160

Persimpangan B:

x₂ + 520 = 480 + x₃

x₂ – x₃ = 480 – 520

x₂ – x₃ = -40

x₃ – x₂ = 40

Persimpangan C:

x₃ + 390 = 600 + x₄

x₃ – x₄ = 600 – 390

x₃ – x₄ = 210

Persimpangan D:

x₄ + 640 = 310 + x₁

x₄ – x₁ = 310 – 640

x₄ – x₁ = -330

x₁ – x₄ = 330

Dari persamaan pada setiap persimpangan tersebut dapat dibuat kedalam sistem persamaan linear.

 

Sistem persamaan linear tersebut dapat dibuat kedalam bentuk matriks.

1. Cara Invers Matriks

Cara menyelesaikan Matriks tersebut dengan Invers Matriks yang dilakukan pertama kali adalah memisahkan sistem persamaan linear tersebut antara variabel x₁, x₂, x₃, dan x₄ dengan hasil, kemudian dibuat matriks. Sementara itu, matriks variabel x₁, x₂, x₃, dan  x₄ diinverskan. Sehingga menjadi:

Kemudian kedua matriks tersebut dikalikan. Namun Matriks yang diinverskan tersebut tidak dapat dikalkulasikan karena Matriks yang diinverskan itu menghasilkan matriks singular. Sehingga memiliki nilai dan hasil penyelesaian yang tidak terdefinisi.

2. Cara Eliminasi Gauss-Jordan

Langkah-langkah menyelesaikan Matriks tersebut dengan Eliminasi Gauss-Jordan.

Dari penyelesaian eliminasi Gauss Jordan didapat nilai x₁, x₂, x₃, x₄ adalah:

1x₁ – 1x₄ = 330

x1 = 330 + x₄

1x₂ – 1x₄ = 170

x₂ = 170 + x₄

1x₃ – 1x₄ = 210

x₃ = 210 + x₄

0x₄ = 0

0 = 0

Sistem persamaan linear tersebut dikatakan tak bebas linear (bergantung linear) karena dalam matriks dengan penyelesaian eliminasi Gauss-Jordan memiliki baris yang nol. Sehingga matriks tersebut memiliki 4 vektor dan merentang suatu ruang berdimensi 3.

Maka dari persimpangan tersebut pada jalan x₄ dikatakan tidak bisa dilalui atau tidak ada volume kendaraan yang masuk pada jalan x₄ itu karena memiliki nilai atau penyelesaian yang tidak terdefinisi.

Cara MATLAB:
Copy Paste Kode Program ini pada m-file MATLAB kemudian di-running-kan untuk melihat output hasil program ini.

Kode Program:

clc;clear;

disp('Persamaan pada setiap persimpangan')
A=[1 -1 0 0 160]
B=[0 -1 1 0 40]
C=[0 0 1 -1 210]
D=[1 0 0 -1 330]

disp('Penggabungan setiap persamaan menjadi sebuah matriks')
Matriks=[A; B; C; D]

disp('-----Cara 1-----')
disp('Penyelesaian dengan Gauss-Jordan')
rref(Matriks) %kolom terakhir merupakan solusi

disp('------Cara 2-----')
disp('Penyelesaian dengan Invers Matriks dan Backslash')

Matriks(:,5)=[]
Hasil=[160 40 210 330]'

disp('Invers Matriks')
Invers=inv(Matriks)*Hasil

disp('Backslash')
Backslash=Matriks\Hasil