Pendugaan Selang Kepercayaan Bagi 1 Proporsi untuk Ukuran Sampel yang Kecil

Dalam menduga selang kepercayaan dari suatu populasi kita sering bertemu dengan ukuran sampel yang cukup besar. Hasil dari survey dan penelitian yang kita dapatkan diambil berdasarkan jumlah yang kita amati secara keseluruhan agar bisa mendapatkan selang kepercayaan yang baik untuk diduga dan memiliki error yang terkecil. Namun terkadang saat menduga selang kepercayaan dari suatu populasi kita malah bertemu dengan ukuran sampel yang kecil karena keterbatasan populasi yang kita dapatkan. Seperti contoh ketika kita ingin menduga selang kepercayaan bagi nilai rata-rata populasi, kita hanya mendapatkan ukuran sampel sebanyak kurang dari 30 sehingga harus menggunakan pendekatan distribusi t walaupun pada dasarnya rumus umum selang kepercayaan bagi pendugaan nilai rata-rata populasi maupun selisih rata-rata populasi adalah sama. Yang membedakan hanya rumus distribusi inversenya. Jika ukuran sampel yang dimiliki besar atau n > 30 atau n = 30 maka gunakan distribusi inverse Z, jika ukuran sampel yang dimiliki kecil atau n < 30 maka gunakan distribusi inverse t.




Pada buku-buku statistik dasar yang kita pelajari pada awalnya. Rumus dasar penduga selang kepercayaan bagi 1 proporsi yang sering kita gunakan dirumuskan sebagai berikut:



dengan:
: merupakan proporsi banyaknya keberhasilan dalam ulangan
: merupakan banyaknya keberhasilan dalam ulangan (event)
: merupakan banyaknya sampel/ulangan (trial)

: merupakan banyaknya kegagalan dalam ulangan

Dan nilai proporsi berada diantara 0 hingga 1.

Rumus tersebut banyak yang sering kita gunakan untuk berbagai kasus selang kepercayaan bagi 1 proporsi tanpa memperhatikan banyaknya sampel atau ulangan pada kasus tersebut karena pada dasarnya banyak literatur yang tidak mencantumkan syarat dalam menggunakan selang kepercayaan bagi 1 proporsi ini. Beberapa sumber literatur yang saya dapatkan bahwa rumus tersebut hanya berlaku untuk ukuran sampel yang besar atau n > 30 serta menyebar normal. Kenapa seperti itu? Karena jika kita tetap memaksakan menggunakan rumus tersebut untuk n berukuran kecil dan tidak menyebar normal maka hasilnya tidak akan optimal, memiliki error yang cukup besar, dan hasil yang akan terjadi adalah nilai proporsi akan kurang dari 0 dan lebih dari 1.

Untuk mengantisipasi terjadinya hasil yang seperti itu, maka kita bisa meninjau dari hubungan antara fungsi kumulatif distribusi (dalam bahasa inggris kita sebut Cumulative Distribution Function atau CDF) dari distribusi Binomial dengan fungsi densitas peluang (dalam bahasa inggris kita sebut Probability Density Function atau PDF) dari distribusi Beta yang akan mengakibatkan suatu hasil persentil distribusi F berdasarkan 2 hubungan distribusi binomial berdasarkan CDF distribusi Binomial dan PDF distribusi Beta. Sehingga bisa didapat kedua hubungan tersebut sebagai selang kepercayaan bagi 1 proporsi untuk sampel berukuran kecil (n < 30) dan tidak menyebar normal yang dirumuskan sebagai berikut:



Penduga selang kepercayaan tersebut biasa disebut sebagai penduga selang Clopper-Pearson. Penduga selang Clopper-Pearson merupakan salah satu metode penduga selang kepercayaan bagi satu proporsi yang paling umum digunakan untuk menghitung selang kepercayaan binomial. Nama lain dari metode penduga selang kepercayaan Clopper-Pearson adalah metode penduga selang kepercayaan eksak (Exact Confidence Interval Method). Sementara itu, rumus dasar selang kepercayaan bagi 1 proporsi yang biasa kita gunakan disebut dengan selang kepercayaan 1 proporsi pendekatan normal (Normal Approximation Proportion Method).

Pada dasarnya, metode penduga selang kepercayaan Clopper-Pearson atau eksak sering digunakan dalam kalkulasi komputasi pada beberapa software statistik karena perhitungan yang rumit serta sulit dihitung. Namun untuk perhitungan manualnya dapat menggunakan rumus seperti ini.

Contoh Soal:
Di sebuah kelas matematika dilakukan penelitian oleh seorang dosen untuk mengetahui selang kepercayaan bagi proporsi bagi mahasiswa yang menyetujui adanya kurikulum matematika 2013 yang baru. Diketahui bahwa banyaknya mahasiswa dalam kelas matematika tersebut berjumlah 23 orang. Banyaknya mahasiswa yang menyetujui adanya kurikulum matematika 2013 sebanyak 13. Hitunglah selang kepercayaan 95% pada kasus tersebut!

Jawaban Soal:
Karena banyaknya sampel kurang dari 30 atau n < 30. Maka dapat digunakan metode penduga selang kepercayaan eksak. Diketahui bahwa x = 13, n = 23 maka:







Jadi selang kepercayaan 95% bagi proporsi mahasiswa yang menyetujui adanya kurikulum matematika 2013 berada diantara 0.345 hingga 0.768 atau setara dengan 34.5% hingga 76.8%.

Dalam beberapa kasus tertentu, data berdistribusi binomial belum tentu menghasilkan selang kepercayaan proporsi yang baik dibandingkan data berdistribusi normal. Hal ini dilihat dari panjangnya antar interval kepercayaan yang dihasilkan. Namun data berdistribusi binomial akan lebih efektif digunakan apabila pendekatan normal menghasilkan selang kepercayaan yang lebih dari 1 atau kurang dari 1.

Demikian yang bisa saya berikan dalam postingan kali ini. Jika ada pembaharuan akan saya update segera. Semoga bermanfaat.